Estudios teóricos del magneto.

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 12599 (2023) Citar este artículo

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Los enfoques ópticos son útiles para estudiar la estructura electrónica y de espín de los materiales. Aquí, basándonos en el modelo de unión estrecha y la teoría de respuesta lineal, investigamos los efectos magnetoópticos de Kerr y Faraday en aisladores topológicos de segundo orden (SOTI) bidimensionales con magnetización externa. Encontramos que el término de Zeeman dependiente del orbital induce cruces de bandas para la fase SOTI, que están ausentes para la fase trivial. En el régimen de magnetización débil, estos cruces dan lugar a saltos gigantes (picos) de los ángulos de Kerr y Faraday (elipicidad) para la fase SOTI. En el régimen de fuerte magnetización, encontramos que se forman dos bandas casi planas en el punto de alta simetría de la zona de Brillouin de la fase SOTI. Estas bandas planas dan lugar a dos saltos gigantes sucesivos (picos) de los ángulos de Kerr y Faraday (elipicidad). Estos fenómenos brindan nuevas posibilidades para caracterizar y detectar la fase SOTI bidimensional.

En los últimos años ha aumentado el interés por las propiedades topológicas de los materiales cuánticos. Entre estos, los conceptos de invariantes topológicas se han generalizado a órdenes superiores1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18. A diferencia de la correspondencia convencional entre el volumen d-dimensional y los estados límite (\(d-1\))-dimensionales en aisladores topológicos, los aisladores topológicos de segundo orden (SOTI) tienen una correspondencia entre el volumen d-dimensional y (\(d- 2\))-estados límite dimensionales. Por ejemplo, en tres dimensiones (\(d=3\)), existen estados de bisagra unidimensionales, que se han observado experimentalmente en bismuto8,19, haluro de bismuto20 y ditelururo de tungsteno21. Posteriormente se han revelado los papeles que desempeñan los estados bisagra en los fenómenos físicos, incluido el interferómetro de orden superior22, el efecto Hall cuántico tridimensional (3D) y el efecto Hall cuántico anómalo23,24, el transporte de espín25, etc. SOTI ha recibido relativamente menos atención debido a las dificultades en el crecimiento material y la detección de topología de orden superior26,27,28.

Las mediciones ópticas pueden proporcionar formas eficientes de detectar la topología de orden superior, ya que son sensibles al volumen y no dependen de los detalles de los estados límite. Cuando una luz incide sobre materiales magnéticos, su momento angular se transfiere a la luz reflejada y transmitida, respectivamente, dando lugar a las rotaciones de los planos de polarización (ver Fig. 1). Estos corresponden a los efectos magnetoópticos de Kerr y Faraday, respectivamente. Estos efectos se han adoptado ampliamente en la detección de rupturas de simetría de inversión temporal en varios sistemas. Cuando se aplican a aisladores topológicos 3D, se han predicho29,30,31 y observado experimentalmente32,33,34 rotaciones universales y cuantificadas de Faraday y Kerr. Los efectos de Kerr y Faraday no se limitan a sistemas de película o masa 3D, sino que se pueden emplear en materiales 2D. Por ejemplo, el efecto polar de Kerr puede proporcionar huellas de simetría de inversión temporal espontáneamente rota en el grafeno bicapa35. Experimentalmente, se han observado rotaciones gigantes de Faraday en grafeno monocapa bajo campos magnéticos modestos36,37. Además, los efectos magnetoópticos de Kerr también se han utilizado para demostrar experimentalmente los comportamientos ferromagnéticos 2D de las monocapas CrI\(_3\)38 y Cr\(_2\)Ge\(_2\)Te\(_6\)39. Dado que los efectos magnetoópticos de Kerr y Faraday pueden caracterizar el magnetismo y los comportamientos de espín de los electrones40,41, nos motiva a estudiar las propiedades topológicas de SOTI 2D mediante el uso de estas técnicas.

En este trabajo, estudiamos los efectos magnetoópticos de Kerr y Faraday en SOTI 2D con magnetización fuera del plano. Consideramos el modelo genérico de enlace estrecho de SOTI 2D, construido por el modelo de aisladores topológicos 2D2,3,42,43 con algunos términos de ruptura de simetría. La ventaja del modelo es que podemos activar y desactivar la fase SOTI ajustando los parámetros. Esto brinda oportunidades para comparar los resultados de SOTI con aisladores triviales. La luz normalmente incide en SOTI 2D y sustrato magnético desde el vacío, cuyo campo electromagnético (también el de la luz reflejada o transmitida) sigue las ecuaciones estándar de Maxwell31. Relacionamos los campos electromagnéticos en la región del vacío y del sustrato mediante las condiciones de contorno modificadas que incorporan las conductividades aportadas por 2D SOTI. Resolviendo estas ecuaciones, los ángulos de Kerr y Faraday se obtienen directamente a partir de los coeficientes de reflexión y transmisión del campo eléctrico. Por otro lado, las conductividades longitudinal y Hall de frecuencia finita de SOTI 2D se derivan utilizando la fórmula de Kubo basada en la teoría de respuesta lineal44. En particular, el tensor de conductividad Hall es una consecuencia de la magnetización fuera del plano en SOTI 2D.

Para el tratamiento de la magnetización, consideramos el efecto Zeeman en sistemas multiorbitales2,43, que se puede descomponer en términos orbitales independientes y orbitales dependientes. Mediante análisis de simetría, encontramos que sólo el término de Zeeman dependiente de la órbita contribuye a los efectos Kerr y Faraday en tales sistemas. También encontramos que la magnetización induce cruces de bandas en las bandas de conducción y valencia solo para la fase SOTI. En el régimen de magnetización débil, estos cruces conducen a saltos gigantes (picos) de los ángulos de Kerr y Faraday (elipicidad). En el régimen de fuerte magnetización, se forman dos bandas casi planas en el punto X de alta simetría de la zona de Brillouin de SOTI. Estos dan lugar a dos saltos gigantes (picos) sucesivos de los ángulos de Kerr y Faraday (elipicidad) para la fase SOTI. Mediante el análisis cuantitativo, encontramos que los parámetros del modelo y el orden de magnitud de los ángulos de rotación están todos dentro del alcance experimental para materiales realistas. Por lo tanto, estos fenómenos proporcionan nuevas características para caracterizar la fase SOTI, que pueden tener aplicaciones prácticas para distinguir SOTI de aisladores triviales.

Ilustración esquemática de los efectos magnetoópticos de Kerr y Faraday en aisladores topológicos de segundo orden (SOTI) 2D sobre un sustrato magnético. \(\theta _K\) y \(\theta _F\) son ángulos de Kerr y Faraday, respectivamente. La luz reflejada se desplaza un poco para una mejor visibilidad.

Consideramos un modelo genérico de enlace estrecho de aisladores topológicos quirales bidimensionales de segundo orden \(H(\varvec{k})=H_0(\varvec{k})+H_{\varLambda }(\varvec{k}) +H_z\)7,9,13, con

Aquí \(m(\varvec{k})=M-2B[2-\sum _{\alpha =x,y}\cos (k_{\alpha }a)]\) y \(\varLambda (\varvec {k})=\varLambda [\cos (k_xa)-\cos (k_ya)]\). \(k_x\), \(k_y\) son los vectores de onda y a es el espaciado de la red (establecido en la unidad). Las matrices de Pauli \(\sigma _{\alpha }\) y \(s_{\alpha }\) (\(\alpha =0,x,y,z\)) actúan sobre los grados de libertad orbital y de espín, respectivamente. \(H_0(\varvec{k})\) es el modelo mínimo de enlace estrecho para aisladores topológicos3,42. \(H_0(\varvec{k})\) describe la fase aislante topológica con estados de borde sin espacios cuando \(0

En este artículo, consideramos los efectos de Kerr y Faraday inducidos por la magnetización externa en lugar de los inducidos por el campo magnético. Por tanto, no existen niveles de Landau y la única consecuencia de la magnetización es la energía de Zeeman. Para los pozos cuánticos de HgTe2,43, el término Zeeman dice

\(g_E\) y \(g_H\) se originan a partir de diferentes factores g efectivos de los orbitales electrónicos \(|E1\rangle\) y \(|H1\rangle\). El término de Zeeman \(H_{zeeman}\) se puede descomponer en parte independiente del orbital \(\sigma _0s_z\) y parte dependiente del orbital \(\sigma _zs_z\). Aquí el término de Zeeman \(\sigma _0s_z\) independiente del orbital puede despreciarse ya que conduce a una respuesta Hall cero. Posteriormente lo demostraremos mediante análisis de simetría. Como resultado, sólo necesitamos considerar el término de Zeeman dependiente del orbital, que se reetiqueta como \(H_z\) en la ecuación. (1).

Las propiedades de simetría del hamiltoniano \(H(\varvec{k})\) se resumen en la Tabla 1. En ausencia del término de Zeeman \(H_z\), el hamiltoniano \(H(\varvec{k})\) conserva la combinación \({\hat{S}}_4={\hat{C}}_4\hat{\mathcal {I}}\) y \({\hat{C}}_4\hat{\mathcal { T}}\) simetrías, mientras que se rompen las simetrías \(\hat{\mathcal {I}}\), \(\hat{\mathcal {T}}\) y \({\hat{C}}_4\) , respectivamente. Cualquier término \(H_z\) o \(\sigma _0s_z\) romperá la simetría \({\hat{C}}_4\hat{\mathcal {T}}\). Además, existe una operación de simetría “oculta” \(\hat{\mathcal {P}}=\sigma _xs_y\mathcal {K}\) que relaciona los estados con momento \((k_x,\pm k_y)\), que se puede dividir por \(H_z\) en lugar de \(\sigma _0s_z\). El efecto de \(\hat{\mathcal {P}}\) sobre la conductividad Hall \(\sigma _{xy}\) se analizará a continuación.

El tensor de conductividad óptica se puede obtener utilizando la fórmula de Kubo44

donde \(\epsilon _{\varvec{k}\mu }\) y \(|\varvec{k},\mu \rangle\) se refieren al valor propio y al estado propio del hamiltoniano \(H(\varvec{k} )\) de la ecuación. (1). \(\mu , \mu '=\{1,2,3,4\}\) son índices de bandas. A temperatura cero, la distribución de Fermi-Dirac \(f_{\varvec{k} \mu }=1/[1+\exp ((\epsilon _{\varvec{k}\mu }-\epsilon _F)/k_BT )]=\Theta (\epsilon _F-\epsilon _{\varvec{k}\mu })\), donde \(\epsilon _F\) es la energía de Fermi y \(\Theta (...)\) es la función de Heaviside. \(\omega\) es la energía del fotón y \(\tau _s\) es el tiempo de relajación de los estados masivos. La contribución de los estados de borde a \(\tau _s\) se puede despreciar con seguridad cuando la luz se aleja de las regiones de borde. El operador actual lee \(j_{\alpha }=(e/\hbar )\partial H(\varvec{k})/\partial k_{\alpha }\), con \(\alpha ,\beta =\{x , y\}\).

Cuando se tiene en cuenta el término de Zeeman independiente del orbital \(g\sigma _0s_z\), el hamiltoniano \(H(\varvec{k})\) conserva la simetría \(\hat{\mathcal {P}}\) (ver Tabla 1). Como resultado, los estados propios con momento \((k_x,\pm k_y)\) satisfacen las relaciones \(\epsilon _{\varvec{k}\mu }=-\epsilon _{(k_x,-k_y){\ bar{\mu }}}\) y \(|\varvec{k},\mu \rangle =e^{i\phi }\hat{\mathcal {P}}|k_x,-k_y,{\bar{ \mu }}\rangle\), donde \(\phi\) es un factor de fase arbitrario. Además, el sistema tiene la simetría partícula-agujero \(\epsilon _{\varvec{k}\mu }=-\epsilon _{\varvec{k}{\bar{\mu }}}\), donde \( \mu\) y \({\bar{\mu }}\) etiquetan un par de bandas simétricas de agujeros de partículas. Como operador anti-unitario, \(\hat{\mathcal {P}}\) establece las siguientes relaciones entre los elementos de la matriz actual: \(\langle \varvec{k},\mu |j_x|\varvec{k}, \mu ^{'}\rangle= \langle k_x,-k_y,\bar{\mu ^{'}}|j_x|k_x,-k_y,{\bar{\mu }}\rangle\) y \(\ langle \varvec{k},\mu |j_y|\varvec{k},\mu ^{'}\rangle= -\langle k_x,-k_y,\bar{\mu ^{'}}|j_y|k_x, -k_y,{\bar{\mu }}\rangle\). Para obtener una idea, podemos descomponer el tensor de conductividad óptica en componentes resueltos \(\varvec{k}\) \(\sigma _{\alpha \beta }(\omega )=\sum _{\varvec{k} }\sigma _{\alpha \beta }(\varvec{k},\omega )\). Como consecuencia, encontramos que \(\sigma _{\alpha \alpha }(\varvec{k},\omega )=\sigma _{\alpha \alpha }(k_x,-k_y,\omega )\) para \(\alpha =x,y\), y \(\sigma _{xy}(\varvec{k},\omega )\) \(=-\sigma _{xy}(k_x,-k_y,\omega )\). Esto indica que la conductividad Hall \(\sigma _{xy}(\omega )=0\) cuando solo se considera el término de Zeeman independiente del orbital. Por el contrario, el término de Zeeman dependiente del orbital \(H_z\) rompe la simetría \(\hat{\mathcal {P}}\), por lo que da lugar a una \(\sigma _{xy}(\omega )\ distinta de cero. ).

Cuando una luz se propaga en la dirección \(-z\) hacia aisladores topológicos 2D de segundo orden depositados sobre un sustrato magnético (ver Fig. 1), los ángulos de Kerr y Faraday se definen como las rotaciones relativas entre zurdos y diestros. luz polarizada circularmente:30,31

donde el campo eléctrico \(E_{\pm }^{(l)}=E_{x}^{(l)}\pm iE_{y}^{(l)}\) y \(l=r,t \) se refieren a la luz reflejada y transmitida, respectivamente. Los coeficientes de reflexión (transmisión) leen

donde \(\sigma _{\pm }=\) \(\sigma _{xx}\) ± \(i\sigma _{xy}\) y \(Z_0=c\mu _0\) \(=\ sqrt{\mu _0/\epsilon _0}\) \(=376.7\Omega\) es la impedancia del vacío. \(\epsilon _r\) y ​​\(\mu _r\) son la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética, respectivamente. Entonces se pueden obtener \(\theta _K\) y \(\theta _F\). Consulte Métodos para obtener detalles de estos cálculos. Además, podemos introducir la elipticidad de Kerr y Faraday \(\gamma _K\), \(\gamma _F\):45

Combinando \(\theta _K\), \(\theta _F\) y \(\gamma _K\), \(\gamma _F\), se pueden introducir ángulos complejos de Kerr y Faraday40,46

Diagrama de fases del modelo hamiltoniano (1) versus M para diferentes regímenes de parámetros. C y \(\nu\) son el número de Chern y el invariante topológico de segundo orden, respectivamente. \(g_{\varLambda }=\sqrt{g^2-4\varLambda ^2}\).

Espectro de energía y distribución de la función de onda de aisladores topológicos de segundo orden (SOTI) 2D de tamaño finito para los parámetros (a), (b) \(M/t=1\) (fase SOTI), (c), (d) \ (M/t=0\) (fase de Chern) y (e), (f) \(M/t=-1\) (fase trivial). (b), (d) y (f) denotan la suma de distribuciones \(\sqrt{\sum _{i=1}^4|\psi _i|^2}\) de cuatro estados resaltados en (a), (c) y (e), respectivamente. Los estados de las esquinas están presentes en las cuatro esquinas de (b). El tamaño de la muestra es 40 por 40. Parámetros: \(t=0.06\) eV43, \(B/t=0.25\), \(\varLambda /t=1.0\), \(g/t=0.4\).

Aquí mostramos resultados numéricos de conductividades ópticas, ángulos de Kerr y Faraday y elipticidad para SOTI quiral 2D en presencia de magnetización fuera del plano. En ausencia de magnetización, el modelo hamiltoniano (1) describe una fase topológica de segundo orden (\(\nu =1\))9,13,47,48 cuando \(0

con el índice de banda \(\mu =1,2,3,4\). La banda prohibida en masa entre dos bandas intermedias se cierra en el momento de alta simetría \(\Gamma =(0,0)\) cuando \(g=|M|\); en \(M=(\pi ,\pi )\) cuando \(g=|M-8B|\); en \(X=(\pi ,0)\) y \(Y=(0,\pi )\) cuando \(g=\sqrt{(M-4B)^2+4\varLambda ^2}\) . Como resultado, se pueden realizar diversas fases topológicas con diferentes números de Chern C ajustando los parámetros. Los diagramas de fases del modelo hamiltoniano (1) se muestran en la Fig. 2, donde se proporcionan tanto el número de Chern C como el invariante topológico de segundo orden \(\nu\). Para diferentes regímenes de parámetros, los diagramas de fases pueden ser bastante diferentes. Para hacer explícita la discusión, nos centramos principalmente en dos regímenes de parámetros: caso de magnetización débil y fuerte, correspondiente a los casos (a) y (e) de la Fig. 2.

Dispersiones de banda y densidad de estados (DOS) de aisladores topológicos de segundo orden (SOTI) 2D con magnetización débil para los parámetros (a), (d) \(M/t=1\), (b), (e) \( M/t=0\) y (c), (f) \(M/t=-1\). Las dispersiones se trazan a lo largo de las líneas de alta simetría de la zona de Brillouin, como se indica en el recuadro de (a). Las transiciones entre bandas internas (externas) \(T_i\) (\(T_o\)) inducidas ópticamente se representan mediante flechas dobles azules (púrpuras). En ausencia de magnetización, \(M/t=1\), 0 y \(-1\) corresponden a SOTI, semimetálico y aislante trivial, respectivamente. En presencia de magnetización se indica en cada caso el número de Chern. Parámetros: \(t=0.06\) eV43, \(B/t=0.25\), \(\varLambda /t=1.0\), \(g/t=0.4\).

A. Magnetización débil. Primero consideramos el caso con magnetización débil, correspondiente a la Fig. 2a. En este caso, \(X=(\pi ,0)\) y \(Y=(0,\pi )\) ya no son puntos de cierre de brecha para ningún parámetro dado. Como resultado, el número de Chern se convierte en \(C=1\) cuando \(-g< M < g\) o \(8B-g< M < 8B+g\), y \(C=0\) en caso contrario . Para verificar las propiedades topológicas, trazamos el espectro de energía y la distribución de la función de onda de muestras de tamaño finito en la Fig. 3 para los parámetros: \(M/t=1\), 0 y \(-1\) con \(B/ t=0,25\). En ausencia de magnetización, estos parámetros corresponden a la fase SOTI, semimetálica y trivial, respectivamente. Cuando se induce la magnetización, según la Fig. 2a, estos parámetros corresponden a la fase SOTI, aislante de Chern y trivial, respectivamente. En las figuras 3a y b, podemos ver la existencia de estados de esquina de energía cero. En las figuras 3c yd, podemos ver la existencia de estados de borde sin espacios. Estos cálculos en el espacio real prueban nuestros resultados del diagrama de fases.

Las dispersiones de bandas a lo largo de las líneas de alta simetría de la zona de Brillouin se muestran en la Fig. 4. Se consideran diferentes valores de M y también se etiquetan los números de Chern. Tenga en cuenta que el modelo muestra comportamientos simétricos entre los parámetros \(M>4B\) y \(M<4B\), por lo que solo elegimos parámetros con \(M\le 4B\), incluyendo \(M/t=1\) , 0 y \(-1\). \(T_i\) (\(T_o\)) etiqueta las transiciones ópticas para dos ramas internas (externas) de bandas. Sorprendentemente, hay nuevos cruces tanto en las bandas de conducción como de valencia de SOTI en la dirección \(\Gamma -M\) (ver Fig. 4a), que están ausentes en la fase trivial. La protección topológica de los cruces de bandas se puede entender observando que en la dirección \(\Gamma -M\) (es decir, \(k_x=k_y\)), \(H_{\varLambda }(\varvec{k})= 0\) para hamiltoniano (1). Así, el modelo se reduce al de aisladores topológicos. Para la fase de aislamiento topológico (\(0

Parte real e imaginaria de las conductividades ópticas (a–b) \(\sigma _{xx}\) y (c–d) \(\sigma _{xy}\) (en unidades de \(e^2/h\ )) como funciones de la energía del fotón \(\omega\) (en unidades de t) para SOTI 2D con magnetización débil. Las flechas etiquetan las energías de las transiciones entre bandas internas (externas) inducidas ópticamente \(T_i\) (\(T_o\)). El valor universal de \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) en el límite de baja energía está resaltado en rojo en (c). Parámetros: \(t=0.06\) eV43, \(B/t=0.25\), \(\varLambda /t=1.0\), \(g/t=0.4\), \(\epsilon _r=4\ )31,45, \(\mu _r=1\), \(\hbar /\tau _s=0.05\), \(E_F=0\).

La parte real e imaginaria de las conductividades ópticas \(\sigma _{xx}\) y \(\sigma _{xy}\) se representan en la Fig. 5, donde por conveniencia establecemos la energía de Fermi \(E_F=0\ ). Una diferencia sorprendente entre SOTI (\(M/t=1\)) y los aisladores triviales (\(M/t=-1\)) radica en su orden de magnitud. En SOTI, \(\sigma _{xx}\) y \(\sigma _{xy}\) se mejoran debido a la existencia de canales adicionales de transiciones entre bandas. Las energías umbral de los fotones para las transiciones entre bandas \(T_{i}\) y \(T_o\) se indican mediante flechas en la Fig. 5. En estas transiciones, \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\ ) y \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) muestran saltos repentinos mientras que \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) y \(\textrm{Im}[\ sigma _{xx}]\) muestran picos positivos o negativos. Por ejemplo, en la Fig. 5a, \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) muestra saltos repentinos para \(M/t=\pm 1\) en \(\omega /t=1.2\ ) debido a la activación de transiciones entre bandas internas \(T_i\). En \(\omega /t=2.8\), se producen otros saltos debido a la activación de transiciones entre bandas externas \(T_o\). Para energía fotónica moderada \(\omega\), la magnitud de \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) para SOTI (\(M/t=1\)) se vuelve mucho mayor que la de los aislantes triviales. (\(M/t=-1\)). Esto se atribuye a los puntos de cruce a lo largo de la línea \(\Gamma M\) de la zona de Brillouin de SOTI (ver Fig. 4a), lo que induce nuevos canales de transiciones entre bandas en algún momento de no alta simetría a lo largo de \(\ Línea gamma M\). Además, los estados en el punto de alta simetría \(M=(\pi ,\pi )\) tienen contribuciones no despreciables debido a la degeneración de banda entre \(\Gamma\) y M. Estos juntos contribuyen a la gran magnitud de \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) en SOTI. Se pueden dar argumentos similares a \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) (ver Fig. 5d). Por otro lado, \(\textrm{Im}[\sigma _{xx}]\) y \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) son proporcionales a la pendiente de \(\textrm {Re}[\sigma _{xx}]\) y \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\), respectivamente, exhibiendo así saltos gigantes cerca de los pequeños picos en \(\omega /t= 2.8\) (ver Fig. 5b yc). Con una energía de fotón aún mayor, la magnitud de \(\sigma _{xx}\) y \(\sigma _{xy}\) se reduce considerablemente debido al cierre de las transiciones ópticas entre bandas.

(a) Kerr y (c) ángulos de Faraday y (b) Kerr y (d) elipticidad de Faraday como funciones de la energía del fotón \(\omega\) (en unidades de t) para SOTI 2D. Las flechas etiquetan las energías de las transiciones entre bandas internas (externas) inducidas ópticamente \(T_i\) (\(T_o\)). Los valores universales de \(\theta _K\) y \(\theta _F\) en el límite de baja energía están resaltados en rojo en (a) y (c). Parámetros: \(t=0.06\) eV43, \(B/t=0.25\), \(\varLambda /t=1.0\), \(g/t=0.4\), \(\epsilon _r=4\ )31,45, \(\mu _r=1\), \(\hbar /\tau _s=0.05\), \(E_F=0\).

Según la ecuación. (8), las condiciones para la aparición de puntos de cruce están dadas por \(m(\varvec{k})=\varLambda (\varvec{k})=0\). Es decir, \(k_x=k_y\) (\(\Gamma M\) línea) y \(M-4B[1-\cos (k_{x})]=0\). Los valores críticos de los parámetros son \(M=0\) y \(M=8B\), que concuerdan exactamente con el rango de parámetros de SOTI. Esto significa que la gran magnitud de \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) y el salto gigante de \(\ textrm{Im}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) puede usarse potencialmente para caracterizar la fase SOTI. Sin embargo, tal argumento no es aplicable para el valor crítico \(M=0\), en cuyo caso la magnetización impulsa el sistema hacia aisladores de Chern con número de Chern \(C=1\) (ver Fig. 4b). En esta situación, la fase aislante de Chern se puede distinguir por la conductividad Hall entera en el límite de baja energía, es decir, \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]=e^2/h\) como resaltado en la Fig. 5c.

Los ángulos de Kerr y Faraday \(\theta _K\), \(\theta _F\) y la elipticidad \(\gamma _K\), \(\gamma _F\) se representan en la Fig. 6. Es manifiesto que \( \theta _K\) y \(\theta _F\) (también \(\gamma _K\) y \(\gamma _F\)) son complementarios entre sí. Básicamente, \(\theta _F\) (\(\theta _K\)) muestra los mismos comportamientos (opuestos) que \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) en la Fig. 5c. Esto se puede entender a partir de la Ec. (5), donde \(Z_0\sigma _{\pm }\ll 1\) puede tratarse como perturbaciones. Después de un poco de álgebra, tenemos \(\theta _F\propto -\theta _K\propto \textrm{Re}[\sigma _{xy}]\). Esto significa que los ángulos de Kerr y Faraday heredan las propiedades de la conductividad de Hall \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\) y, por lo tanto, también se pueden usar para caracterizar el SOTI. \(\gamma _K\) y \(\gamma _F\) parecen más propensos a heredar las propiedades de \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\), que, junto con los ángulos de Kerr y Faraday , se puede adoptar para distinguir SOTI de aisladores triviales.

Dispersiones de banda y densidad de estados (DOS) de aisladores topológicos de segundo orden (SOTI) 2D con fuerte magnetización para los parámetros (a), (c) \(M/t=4\) y (b), (d) \( M/t=-6\). Las transiciones entre bandas internas (externas) inducidas ópticamente \(T_{i/o}\) en \(\Gamma\), \(X_{i/o}\) en X y \(R_{i/o}\ ) en los puntos de cruce están representados por flechas dobles. En ausencia de magnetización, \(M/t=4\) y \(-6\) corresponden a SOTI y al aislante trivial, respectivamente. En presencia de magnetización se indica en cada caso el número de Chern. Parámetros: \(t=0.06\) eV43, \(B/t=1\), \(\varLambda /t=0.5\), \(g/t=5\).

B. Fuerte magnetización. Ahora consideramos el caso con fuerte magnetización, correspondiente a la Fig. 2e. Consideramos dos parámetros representativos: \(M/t=4\) y \(M/t=-6\). En ausencia de magnetización, corresponden a la fase SOTI y trivial, respectivamente. Cuando se induce una fuerte magnetización, la estructura de la banda se modifica enormemente y \(M/t=4\) ahora se reduce a una fase aislante trivial. Sin embargo, a continuación revelamos que \(M/t=4\) y \(M/t=-6\) tienen características ópticas distintas, ya que se originan en diferentes fases topológicas en ausencia de magnetización.

Las dispersiones de bandas a lo largo de las líneas de alta simetría de la zona de Brillouin se muestran en la Fig. 7, donde se consideran dos parámetros representativos: \(M/t=4\) (SOTI) y \(M/t=-6\) ( trivial). Encontramos que, al igual que en el caso de la magnetización débil, hay cruces tanto en las bandas de conducción como en las de valencia de SOTI, que están ausentes en la fase trivial. Las transiciones ópticas umbral para dos ramas internas (externas) de bandas están etiquetadas como \(T_{i/o}\) en el punto \(\Gamma\), \(X_{i/o}\) en X y \( R_{i/o}\) en los puntos de cruce. En el punto \(\Gamma\) o M de la zona de Brillouin, se permiten transiciones \(T_{i/o}\) ya que los estados inicial y final comparten el mismo momento angular de giro. En el punto X, \(H_{\varLambda }(\varvec{k})\) de la ecuación. (1) mezcla estados con diferentes espines, a pesar de que los estados internos y externos son ortogonales entre sí. Como resultado, sólo se permiten transiciones \(X_{i/o}\) dentro de estados internos o externos.

Las conductividades ópticas \(\sigma _{xx}\) y \(\sigma _{xy}\) se representan en la Fig. 8, donde las transiciones entre bandas que contribuyen a los picos y saltos se indican mediante flechas. Encontramos que SOTI muestra picos más grandes de \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) y saltos de \(\textrm{Im}[\sigma _{xx}]\) de las transiciones ópticas \( R_{i/o}\) que los aisladores triviales. Sin embargo, sus diferencias son mucho menores que las del caso de magnetización débil. Esto se debe a la pérdida de canales degenerados de transiciones ópticas impulsadas por una fuerte magnetización. Por otro lado, una fuerte magnetización induce bandas casi planas en el punto X para SOTI (ver Fig. 7a), lo que aún da lugar a picos gigantes y saltos de conductividades ópticas como resultado de la mayor densidad conjunta de estados para las transiciones ópticas \( X_{i/o}\) (ver Fig. 7c). Esto puede proporcionar otra forma de distinguir SOTI de aisladores triviales.

Parte real e imaginaria de las conductividades ópticas (a–b) \(\sigma _{xx}\) y (c–d) \(\sigma _{xy}\) (en unidades de \(e^2/h\ )) como funciones de la energía del fotón \(\omega\) (en unidades de t) para SOTI 2D con fuerte magnetización. Las flechas etiquetan las energías de las transiciones entre bandas internas (externas) inducidas ópticamente \(T_{i/o}\), \(X_{i/o}\) y \(R_{i/o}\). Parámetros: \(t=0.06\) eV43, \(B/t=1\), \(\varLambda /t=0.5\), \(g/t=5\), \(\epsilon _r=4\ )31,45, \(\mu _r=1\), \(\hbar /\tau _s=0.05\), \(E_F=0\).

Los ángulos y elipticidades de Kerr y Faraday resultantes se representan en la Fig. 9. Hay dos saltos gigantes (picos) sucesivos tanto en \(\theta _K\) como en \(\theta _F\) (\(\gamma _K\) y \(\gamma _F\)) procedente de transiciones ópticas \(X_{i/o}\) para SOTI. Por el contrario, sólo hay un pequeño salto o pico de las transiciones ópticas \(X_{i}\) para aisladores triviales. En comparación con la magnetización débil, la magnetización fuerte tiende a suprimir la magnitud de los ángulos y la elipticidad de Kerr y Faraday. La reducción de los ángulos de Kerr y Faraday y la elipticidad se debe a la mejora de las bandas prohibidas modificadas por una fuerte magnetización. Esto conduce a la supresión de las conductividades ópticas de Hall y, por tanto, a la reducción de las rotaciones de Kerr y Faraday. Esta reducción bajo una fuerte magnetización es diferente de la visión general de los efectos magnetoópticos debidos a un fuerte campo magnético, donde se forman los niveles de Landau. Aquí la magnetización no induce niveles de Landau, sino que simplemente modifica la estructura de la banda. Sin embargo, incluso para los ángulos y la elipticidad reducidos de Kerr y Faraday, todavía están dentro del alcance experimental.

(a) Kerr y (c) ángulos de Faraday y (b) Kerr y (d) elipticidad de Faraday como funciones de la energía del fotón \(\omega\) (en unidades de t) para SOTI 2D con fuerte magnetización. Las flechas etiquetan las energías de las transiciones entre bandas internas (externas) inducidas ópticamente \(T_{i/o}\), \(X_{i/o}\) y \(R_{i/o}\). Parámetros: \(t=0.06\) eV43, \(B/t=1\), \(\varLambda /t=0.5\), \(g/t=5\), \(\epsilon _r=4\ )31,45, \(\mu _r=1\), \(\hbar /\tau _s=0.05\), \(E_F=0\).

Los resultados numéricos se basan principalmente en los parámetros del modelo de pozos cuánticos de HgTe. \(t=0.06\) eV y \(M/t=1\) están al alcance experimental ajustando el espesor del pozo cuántico2,43. El régimen de magnetización fuerte requiere que \(g/B>4\), lo que sugiere que \(g>0.1\) eV. Esto se puede realizar en pozos cuánticos de HgTe dopados con Mn bajo un fuerte campo magnético51, película delgada dopada con Cr (BiSb)\(_2\)Te\(_3\)52 o monocapa MoTe\(_2\) sobre sustrato de EuO53. La energía del fotón oscila entre 0,01 eV y 0,6 eV, correspondiente a las frecuencias de terahercios y del infrarrojo lejano32,33,34,54. En el régimen de magnetización débil, los ángulos de rotación son decenas de mrad, que comparten el mismo orden de magnitud con los resultados experimentales de Bi\(_2\)Se\(_3\) sobre Al\(_2\)O\(_3\) sustrato32. En el régimen de magnetización fuerte, los ángulos de rotación se vuelven de unos pocos mrad, en el mismo orden de magnitud con los resultados experimentales de HgTe y Bi\(_2\)Se\(_3\) tensados ​​sobre sustrato de InP33,34. Nuestros estudios también se pueden aplicar a otros SOTI 2D propuestos, como Graphdiyne26, Bi sobre sustrato EuO27 y monocapa FeSe28.

Para realizar SOTI a partir de TI dopado magnético, la existencia del término \(H_{\varLambda }(\varvec{k})\) en la ecuación. (1) es esencial. Según la Tabla 1, \(H_{\varLambda }(\varvec{k})\) términos se rompe \(\hat{\mathcal {T}}\) y \(\hat{\mathcal {I}}\) simetrías preservando las simetrías \({\hat{C}}_4\hat{\mathcal {T}}\) y \({\hat{C}}_4\hat{\mathcal {I}}\). Físicamente, el término \(H_{\varLambda }(\varvec{k})\) se puede realizar de dos maneras posibles. Una es inducir corrientes orbitales que rompan la simetría de inversión del tiempo de manera opuesta en las direcciones x e y. El otro es inducir (\(\pi\), \(\pi\), 0) orden antiferromagnético no colineal en el sistema. Los detalles de esta cuestión merecen un estudio más detallado.

Tenga en cuenta que en nuestra configuración (ver Fig. 1), se supone un sustrato magnético semiinfinito por simplicidad. Para muestras realistas, se debe tener en cuenta el papel del espesor del sustrato. Siguiendo el trabajo anterior31, sabemos que los resultados son independientes de las propiedades del sustrato cuando el espesor del sustrato es mucho menor que la longitud de onda de la luz en el límite de baja frecuencia. Al aumentar el espesor, se suprime la magnitud de los ángulos de Kerr y Faraday. Particularmente, cuando se satisfacen las condiciones de resonancia, es decir, el espesor del sustrato contiene un número entero de medias longitudes de onda, los ángulos de Kerr y Faraday muestran oscilaciones de tipo Fabry-Perot y nuevamente se vuelven independientes de las propiedades del sustrato.

Dado que la elipticidad es un efecto dispersivo y sensible a las distorsiones del tensor dieléctrico, puede no ser adecuada para detectar SOTI 2D. La elipticidad puede servir como complemento de los ángulos de Kerr y Faraday, que juntos pueden usarse para caracterizar la fase SOTI 2D. Además, la comparación entre elipticidad y ángulos de rotación puede proporcionar información de distorsiones o faltas de homogeneidad del sistema.

Los efectos magnetoópticos de Kerr y Faraday también se han estudiado en aisladores topológicos30 y en aisladores topológicos Floquet55. Por el contrario, nos concentramos en el SOTI con magnetización de proximidad, en lugar de introducir los niveles de Landau55. La interacción espín-órbita de Rashba puede introducirse aún más en la interfaz como resultado de la ruptura de la simetría de inversión. Esto puede modificar las estructuras de espín y pseudoespín de las bandas electrónicas, induciendo canales adicionales para transiciones ópticas entre bandas. La presencia de dispersión de impurezas afecta el tiempo de relajación \(\tau _s\) en la ecuación. (3), lo que da lugar a una ampliación de picos y saltos para los ángulos y elipticidades de Kerr y Faraday31. Para los estados superficiales de los aisladores topológicos Bi\(_2\)Se\(_3\) y Bi\(_2\)Te\(_3\)56,57, el término de alabeo hexagonal está presente. Este término puede modificar las transiciones entre bandas, la velocidad de Fermi y la densidad de estados, lo que lleva a una forma cuasilineal de \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\) con una inclinación cóncava hacia arriba58,59. Nuestra discusión se centra en el límite de temperatura cero, y el aumento de temperatura tiende a suprimir la magnitud de los picos y saltos de las rotaciones de Kerr y Faraday33. Sin embargo, mientras la temperatura no sea lo suficientemente alta, las características principales deberían seguir siendo observables.

Para concluir, hemos estudiado los efectos magnetoópticos de Kerr y Faraday en aisladores topológicos bidimensionales de segundo orden. Mediante análisis de simetría, encontramos que para observar los efectos de Kerr y Faraday en tales sistemas, el término de Zeeman debe ser dependiente del orbital, en lugar de independiente del orbital. La magnetización induce nuevos cruces en las bandas de conducción y valencia sólo en la fase SOTI. En el régimen de magnetización débil, estos cruces conducen a picos gigantes de \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) y saltos gigantes de \(\textrm{Im}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\). Como resultado, los ángulos de Kerr y Faraday (elipicidad) \(\theta _K\) y \(\theta _F\) (\(\gamma _K\) y \(\gamma _F\)) muestran saltos gigantes (picos) únicamente. en la fase SOTI. En el régimen de fuerte magnetización, se forman bandas casi planas en el punto X para SOTI. Estos dan lugar a dos picos gigantes sucesivos de \(\textrm{Re}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Im}[\sigma _{xy}]\) y saltos gigantes de \( \textrm{Estoy}[\sigma _{xx}]\), \(\textrm{Re}[\sigma _{xy}]\). En este sentido, los ángulos de Kerr y Faraday (elipicidad) \(\theta _K\) y \(\theta _F\) (\(\gamma _K\) y \(\gamma _F\)) muestran saltos gigantes (picos) únicamente. en la fase SOTI. Estos fenómenos pueden usarse potencialmente para distinguir el SOTI de los aislantes triviales. Tenga en cuenta que nuestra propuesta puede no ser aplicable al régimen cercano al límite de fase topológica, como \(M=0\), que puede pasar a la fase aislante de Chern bajo magnetización.

Consideramos una luz que se propaga a lo largo de la dirección \(-z\) desde el vacío hacia un material 2D (en \(z=0\)) depositado sobre un sustrato magnético (ver Fig. 1). En el vacío (\(z>0\)), el campo eléctrico de la luz incidente es

donde \(\omega\) y c se refieren a la energía y la velocidad de la luz en el vacío, respectivamente. Para la luz reflejada, el campo eléctrico lee

En el sustrato magnético (\(z<0\)), el campo eléctrico de la luz transmitida lee

donde el índice de refracción \(n_r=\sqrt{\epsilon _r\mu _r}\). \(\epsilon _r\) y ​​\(\mu _r\) son la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética, respectivamente. Según la ley de Faraday \(\nabla \times \varvec{E}=-\partial \varvec{B}/\partial t\), el campo magnético de la luz sigue

Según las ecuaciones de Maxwell, las condiciones de contorno en \(z=0\) están dadas por

donde la densidad de corriente en el material 2D satisface las relaciones \(j_{\alpha }=\sum _{\beta =x,y}\sigma _{\alpha \beta }E_{\beta }.\) \(\ épsilon _0\) y \(\mu _0\) son la permitividad y la permeabilidad del vacío, respectivamente. Al sustituir las formas del campo eléctrico y magnético en las ecuaciones anteriores, podemos obtener las relaciones de los coeficientes de las ecuaciones. (9)–(11).

Ahora introducimos una matriz de dispersión entre campos eléctricos entrantes y salientes mediante

dónde

y de manera similar para \(R'\), \(T'\). La forma detallada de R, T se puede determinar utilizando las condiciones de contorno (13). Como resultado, encontramos que

donde \(D=(\frac{1}{Z_0}+\frac{1}{Z_0}\sqrt{\frac{\epsilon _r}{\mu _r}}+\sigma _{xx})^2+ \sigma _{xy}^2\) y \(Z_0=c\mu _0=\sqrt{\mu _0/\epsilon _0}=376.7\Omega\) es la impedancia del vacío. En la derivación, hemos utilizado las relaciones \(\sigma _{xx}(\omega )=\sigma _{yy}(\omega )\) y \(\sigma _{xy}(\omega )=-\ sigma _{yx}(\omega )\), que son apropiados para nuestro sistema. Según la definición del ángulo de Kerr y Faraday de la ecuación. (4), necesitamos

donde \(\sigma _{\pm }=\sigma _{xx}\pm i\sigma _{xy}\). Esto reproduce los resultados de la ecuación. (5).

A petición razonable, el autor correspondiente proporcionará todos los datos relevantes en este artículo.

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Este trabajo cuenta con el apoyo de la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China (NSFC, subvención n.º 11904062), el Fondo de Investigación Inicial de la Universidad de Guangzhou (subvención n.º RQ2020076) y el Programa de Investigación Básica de Guangzhou, financiado conjuntamente por la Universidad de Guangzhou (subvención n.º 202201020186 ).

Departamento de Física, Facultad de Física y Ciencia de los Materiales, Universidad de Guangzhou, Guangzhou, 510006, China

Wan-Qing Zhu y Wen-Yu Shan

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W.-QZ y W.-YS realizaron los cálculos teóricos y escribieron el manuscrito. W.-YS dirigió todo el proyecto. Todos los autores revisaron el manuscrito.

Correspondencia a Wen-Yu Shan.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Zhu, WQ., Shan, WY. Estudios teóricos de los efectos magnetoópticos de Kerr y Faraday en aisladores topológicos bidimensionales de segundo orden. Informe científico 13, 12599 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-39644-y

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Recibido: 06 de junio de 2023

Aceptado: 28 de julio de 2023

Publicado: 03 de agosto de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-39644-y

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